$sin ^n \theta ,cos ^n \theta$の定積分

$\int_0 ^\frac{\pi}{2} sin^8 \theta d\theta$ などの三角関数の積分は非常に厄介です。

しかしながら、編入学試験においては、これが直接設問になっていることや、物理学の途中計算で出てくることがよくあります。一般的には、倍角の公式など三角関数の相互関係の公式を用いて式を解きほぐしていくことが多いのではないでしょうか。そうすると途中で計算を間違えたり、公式の使い方を間違えたりするミスが多発する経験がある方もいらっしゃるでしょう。

これを防ぐための方法として、$sin^n \theta$の積分公式を自分で導いてしまうという手法をご紹介します。もっとも、この関係式の導出自体が大学受験の頻出問題であるため、それほど特別なものではないことを記しておきます。

まずは$\int_0 ^\frac{\pi}{2} sin^n \theta d \theta$を実行する

導出の方法は、非常に簡単です。

何も考えずに$\int_0 ^\frac{\pi}{2} sin^n \theta d\theta$を実行してください。そして、三角関数の相互関係を利用して漸化式を導出します。以下にその様子を記します。

したがって以下のことが言えます。

【三角関数のベキ乗の定積分】

$I_n = \int_0 ^\frac{\pi}{2} sin^n \theta d \theta$とすれば

$$I_n = \dfrac{n-1}{n} I_{n-2}$$

$J_n = \int_0 ^\frac{\pi}{2} cos^n \theta d \theta$とすれば

$$J_n = \dfrac{n-1}{n} J_{n-2}$$

$cos^n\theta$の方は紙面では証明していませんが、区間$(0,\frac{\pi}{2})$での$sin\theta,cos\theta$のグラフを書けば、そのベキ乗の積分値が等しくなることはわかるでしょう。また、$I_n=J_n$の証明も容易なので興味のある読者への課題としておきます。