一般座標について

質点の概念

• 物体の運動を考えるときに、その「大きさ」を無視出来るとき、その物体を質点とよぶ
• 質点とみなせるかどうかはもちろんケースバイケースであり、現実に起こる運動と十分同じと見なせるかどうかで判断がわかれる

質点の運動を記述するための記号

• 空間における質点の記号: 位置ベクトル $\boldsymbol{r} (t)$
• $\boldsymbol{r}$の$t$についての 1 階導関数: 速度ベクトル $\boldsymbol{v} (t) = \dfrac{d \boldsymbol{r} (t) }{dt} = \dot{\boldsymbol{r}} (t)$
• $\boldsymbol{r}$の$t$についての 2 階導関数: 加速度ベクトル $\boldsymbol{a} (t) = \dfrac{d^2 \boldsymbol{r} (t) }{dt^2} = \ddot{\boldsymbol{r}} (t)$

「力学的状態」が定まるとはどういうことか

• 空間上で N 個の質点の位置を決めるためには、N 個のベクトル、3N 個の成分が必要であり、必要な成分の数を 自由度 とよぶ
• 逆に言えば、3N 個の成分がでそろえば、系の位置 は一意に決まる
• しかし位置が定まっただけでは 「力学的状態」 は定まったといえない

一般座標の導入

運動方程式とは何か

最小作用の原理

最小作用の原理とはなにか

最小作用の原理から運動方程式を導く

• 最小作用の原理の要請のままでは、軌道を表す関数 $\boldsymbol{q} (t)$ がはっきり分からずに不便である
• 作用 $S$ が極値をとる条件を考えると $\boldsymbol{q} (t)$ が関わる微分方程式の形を導けるので、それを目指す
• この先簡単のため、自由度を 1 として式を書き下す
  • なお、自由度がより大きい場合でも、各成分ごとに同じ変形を行えばよいだけのことなので、自由度を 1 とすることにより一般性は失われない

$$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} L \left( q(t) + \delta q(t) , \dot{q} (t) + \delta \dot{q} (t), t \right) dt - \int_{t_1}^{t_2} L \left( q(t) , \dot{q} (t) , t \right) dt$$ $$\begin{aligned} \delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left ( { \cancel {L \left( q , \dot{q} , t \right)}} + \dfrac{ \partial L \left( q , \dot{q} , t \right)}{\partial q } (\delta q) + \dfrac{ \partial L \left( q, \dot{q} , t \right)}{\partial \dot{q} } (\delta \dot{q}) + \dfrac{1}{2} \dfrac{ {\partial}^2 L \left( q, \dot{q} , t \right)}{\partial q^2 } (\delta q)^2 + \right. & \\ \dfrac{1}{2} \left. \dfrac{ {\partial}^2 L \left( q , \dot{q} , t \right)}{\partial q \partial \dot{q} } ( 2 \delta q \delta \dot{q}) + \dfrac{1}{2} \dfrac{ {\partial}^2 L \left( q , \dot{q} , t \right)}{\partial {\dot{q}}^2 } (\delta \dot{q})^2 + \cdots - \cancel{ {L \left( q, \dot{q} , t \right) } } \right ) dt \end{aligned}$$ $$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \dfrac{\partial L}{\partial q} \delta q - \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} \right) dt$$ $$\begin{aligned} \int_{t_1}^{t_2} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta \dot{q} \right) dt &= \int_{t_1}^{t_2} \left( \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \dfrac{d}{dt} \delta q \right) dt \\ &= \left[ \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q(t) \right] {t_1}{t_2} - \int_{t_1}^{t_2} \left( \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right) dt　\\ &= \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q(t_2) -\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}}\delta q(t_1)- \int_{t_1}^{t_2} \left( \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right) dt　\\ &= 0 - 0 - \int_{t_1}^{t_2} \left( \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right) dt \end{aligned}$$ $$\delta S = \int_{t_1}^{t_2} \left( \dfrac{\partial L}{\partial q} \delta q - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \delta q \right) dt = \int_{t_1}^{t_2} \left( \dfrac{\partial L}{\partial q} - \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L}{\partial \dot{q}} \right) \delta q dt$$ $$\dfrac{\partial L}{\partial q_i} - \dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \right)= 0$$ $$\dfrac{d}{dt} \left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{q_i}} \right) - \dfrac{\partial L}{\partial q_i} = 0$$

ラグランジュ関数の任意性

• オイラー・ラグランジュ方程式の形を見てみると、ある力学系のラグランジュ関数に任意の定数をかけても、方程式から導かれる運動に何ら影響を与えないことは明らかである
• ただし、全体の系を考える場合は、物理量の単位の関係から同一の任意定数をそれぞれのラグランジュ関数にかけなくてはならない

$$L'(q,\dot{q},t) = L(q,\dot{q},t) + \dfrac{d}{dt} f(q,t)$$ $$\begin{aligned} S' &= \int_{t_1}^{t_2} L' \left( q,\dot{q},t \right) dt \\ &= \int_{t_1}^{t_2} L \left( q, \dot{q} , t \right) dt + \int_{t_1}^{t_2} \dfrac{d}{\cancel{dt}} f(q, t) \cancel{dt} \\ &= S + f \left( q^{(2)} , t_2 \right) - f \left( q^{(1)} , t_1 \right) \\ &= S + const. \end{aligned}$$

ガリレイの相対性原理

• 逆に言えば力学系の現象を研究するためには、特定の基準系を選ぶ必要がある
• 一般的には基準系が異なれば、運動法則も違ったかたちをとる
  • 場合によってはきわめて複雑なかたちもとりうる
• したがって力学現象の法則が最も簡単な形を取るような基準系を見出すことが問題となる

慣性系と慣性の法則

$$\begin{aligned} \dfrac{d}{dt} \dfrac{\partial L( {\dot{q}}^2 )}{\partial \boldsymbol{\dot{q}}} = 0 & \Longrightarrow \dfrac{\partial L ( {\dot{q}}^2 )}{\partial \boldsymbol{\dot{q}}} = const. \\ & \Longrightarrow \boldsymbol{\dot{q}} = const. \end{aligned}$$

ガリレイの相対性原理

ガリレイ変換

• ガリレイの相対性原理から無限に多くの慣性系のすべてが力学的に等価であることがわかったが、これは同時に絶対的な基準系が存在しないということを意味している
• 異なる慣性基準系についての関係を表すのが ガリレイ変換 である
• 相対性原理は、ガリレイ変換に対して運動が不変であることを要請することにより定式化できる。

自由な質点のラグランジュ関数

• 運動に際してラグランジュ関数が満たす方程式は、最小作用の原理から導くことができた（オイラー・ラグランジュ方程式）。
  • しかしラグランジュ関数は一体どういったものなのか、まだ考えていない。
• そこで、まず慣性基準系における自由な質点のラグランジュ関数がどのような形になるか、考えてみよう。
  • その際、要請 3 のガリレイの相対性原理を利用してみることにする。

慣性系における自由な質点のラグランジュ関数の導出

$$L' = L({v'}^2) = L(v^2 + 2 \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{\epsilon} + \epsilon^2)$$ $$\begin{aligned} L' &= L(v^2) + \dfrac{\partial L}{\partial v^2} 2v \epsilon + \cdots \\ &\approx L(v^2) + \dfrac{\partial L}{\partial v^2} 2v \epsilon. \end{aligned}$$ $$\dfrac{\partial L}{\partial v^2} 2v \epsilon = \dfrac{\partial L}{\partial v^2} \dfrac{\mathrm{d} \left( 2 x \epsilon \right) }{\mathrm{d}t} .$$ $$L = av^2 = \dfrac{m}{2} v^2$$ $$L' = av'^2 = a(v + V)^2 = av^2 + 2avV + aV^2 = L + \dfrac{d}{dt}(2arV + aV^2t).$$

質量の定義とその意味

$$S = \int_{1}^{2} \dfrac{mv^2}{2} dt$$

各座標系におけるラグランジュ関数の導出に関するヒント

$$v^2 = \left( \dfrac{dl}{dt} \right) ^2 = \dfrac{dl^2}{dt^2}$$ $$L = \dfrac{m}{2} ( \dot{x}^2 + \dot{y}^2 + \dot{z}^2 )$$ $$L = \dfrac{m}{2} ( \dot{r}^2 + r^2\dot{\varphi }^2 + \dot{z}^2 )$$ $$L = \dfrac{m}{2} ( \dot{r}^2 + r^2\dot{\theta }^2 + r^2 \mathrm{sin}^2 \theta \dot{\varphi }^2 )$$

補足

べき級数展開について

1 変数関数の場合

$$f(x) = \sum_{k=0}^{n}{ \dfrac{f^{(k)}(a) }{k!} (x-a)^k } + R_{n+1} (\theta ) \\ f(x+\delta x) = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{f^{(k)}(x)}{k!} (\delta x)^k + R'_{n+1}(\theta )$$

2 変数関数の場合

$$f(x+\delta x , y + \delta y) = \sum_{k=0}^{n} \dfrac{f(x,y)}{k!} (\delta x D_1 + \delta y D_2)^k + R_{n+1}(\theta )$$ $$D_1 = \dfrac{\partial }{\partial x}, D_2 = \dfrac{\partial }{\partial y}$$

変分記号と微分演算子の交換について

$$\delta \dot{q} = \dfrac{ \mathrm{d}}{\mathrm{d}t} Q - \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} q = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} ( Q - q ) = \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} ( \delta q ) .$$

べき級数展開について その 2

$$\begin{aligned} f(\epsilon) &= L ( v^2 + 2v\epsilon + \epsilon^2 ) \\ f'(\epsilon) &= 2 ( v + \epsilon ) L ( v^2 + 2v\epsilon + \epsilon^2 ) \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} f(\epsilon) &= f(0) + f'(0) \epsilon + \dfrac12 f''(0) \epsilon^2 + \cdots \\ &= L(v^2) + 2( v + \epsilon ) L'(v^2) \epsilon + \cdots \\ &= L(v^2) + 2 v \epsilon L' (v^2) + 2 \epsilon^2 L(v^2) + \cdots \\ &= L(v^2) + 2 v \epsilon L' (v^2) + \cdots \end{aligned}$$

べき級数展開について その 3

$$L ( v^2 + 2v\epsilon + \epsilon^2 ) = L (x +\epsilon ')$$ $$L ( x + \epsilon ' ) = L (x) + \dfrac{\partial L}{\partial x} \epsilon ' + \dfrac12 \dfrac{\partial^2 L}{\partial x^2} \epsilon'^2 + \cdots$$

セミナー後のまとめ

• 口頭発表の際には思いの外、式番号がないと不便である。少し邪魔なくらいにあったほうが良い
• 資料だけだと発表しづらいので、ある程度黒板に何を書くと便利かを考えておくとスムーズに進む
• ラグランジュ関数がなぜ $q$ と $\dot{q}$ に依存するかという点は、1.5 の運動方程式に関する仮定から来ている。
• 慣性基準系の部分については「ユークリッド空間内においての運動を考える」とするともう少し分かりやすい
  • 空間に歪みがないという部分が重要
• 慣性基準系における自由粒子の観測は逆さまに見ても、反対側から見ても同じであり、これが等方性である

参考文献

1. L.D.ランダウ・E.M.リフシッツ, 『力学（増訂第３版）』, 東京図書(1983)
2. 大貫義郎・古田春夫,『岩波講座　現代の物理学１　力学』,岩波書店(1994)
3. 吉田春夫,『キーポイント力学』,岩波書店(1996)
4. 齋藤正彦,『微分積分学』,東京図書(2006)